Το Αποκούμπι: Ασκήσεις Συναρτήσεων

Παρασκευή 7 Ιανουαρίου 2011

Ασκήσεις Συναρτήσεων

Δίνεται συνάρτηση f : [0, 1] → R με τις εξής ιδιότητες :

(1) Η f ικανοποιεί το ϑεώρημα ενδιάμεσων τιμών σε οποιοδήποτε κλειστό υποσύνολο [a, b] του [0, 1].
(2) Για κάθε c ∈ R, το f^-1(c) = {x ∈[0, 1] : f(x) = c} είναι κλειστό.
Να δειχτεί ότι η f ειναι συνεχής.

(Ακολουθούν άλλες 2 ασκήσεις)

Εστω η συνεχής συνάρτηση $f$ στο διάστημα $[0,1]$ ώστε ${f}^{2}\left(0 \right) + \left( f(1) - 1 \right)f\left(0 \right) = 1$ . Nα δείξετε ότι υπάρχει ρίζα της εξίσωσης $f\left(x \right) = 0$ στο διάστημα $(0,1)$ .

Έστω $f : R \rightarrow R$ συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει η σχέση :

${f}^{2}\left(x \right) - 2f\left(x \right)\sin x = {\sin }^{4}x + {\sin }^{2}x + 1$ ,

για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ και $f\left(\frac{\ \pi }{2} \right) = 3$ .

α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ διατηρεί σταθερό πρόσημο, το οποίο και να βρείτε.

β. Να δείξετε ότι : $f(0) = 1$ .

γ. Να αποδείξετε πως και η συνάρτηση $h\left(x \right) = f\left(x \right) - \sin x$ , $x \epsilon R$ , διατηρεί σταθερό πρόσημο, το οποίο και να βρείτε.

δ. Να υπολογίσετε το όριο $\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{f\left(x \right)}{x}$ .
Πηγή: http://ischool.e-steki.gr

Το Αποκούμπι

Παρασκευή 7 Ιανουαρίου 2011

Ασκήσεις Συναρτήσεων

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου