Θέματα Μαθηματικών Γενικής

ΑΣΚΗΣΗ 1^η

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e^x(x²-5x+α), α Î Ñ.

i.              Να δείξετε ότι f΄΄(x) + f(x) = 2(f΄(x)+e^x)

ii.             Να βρείτε το α ώστε η εφαπτόμενη στο σημείο (1, f(1)) να είναι παράλληλη στον x΄x.

iii.            Για την τιμή του a που βρήκατε, να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Λύση

i.              f´(x) = e^x(x²-5x+α) + e^x(2x-5) = e^x(x²-5x+α+2x-5) =  e^x(x²-3x+α-5)

                   f´΄(x) = e^x(x²-3x+α-5) + e^x(2x-3) = e^x(x²-3x+α-5+2x-3) = e^x(x²-x+α-8)

                   f΄΄(x) + f´(x) = 2(f´(x) + e^x) Û e^x(x²-x+α-8) + e^x(x²-5x+α) =

                        = 2(e^x(x²-3x+α-5)+e^x) Û e^x(2x²-6x+2α-8) = 2e^x(x²-3x+α-4) Û

                        Û 2e^x(x²-3x+α-4) = 2e^x(x²-3x+α-4)

ii.             Για να είναι η εφαπτομένη στο (1, f(1)) παράλληλη στον x΄x πρέπει:

                    f´(1) = 0 Û e¹(1²-3·1+α-5) = 0 Û e(1-3+α-5) = 0 Û α-7 = 0 Û α = 7

iii.            Για a=7, f(x) = e^x(x²-5x+7)   f´(x) = e^x(x²-3x+2)

                   f´(x) = 0 Û e^x(x²-3x+2) = 0 Û x² – 3x +2 = 0

                   Δ = 1,  x₁=1 ή x₂=2

                   Η μονοτονία της f φαίνεται στον πίνακα:

x	-¥                   1                      2                      +¥
f´(x)	+	0		-	0		+
f(x)
	τ.μ                     τ.ε

                   Η f παρουσιάζει τ.μ. για x = 1 το f(1) = 3e και τ.ε. για x = 2 το f(2) = e².