Ασκήσεις Συναρτήσεων

• Δίνεται συνάρτηση f : [0, 1] → R με τις εξής ιδιότητες :

(1) Η f ικανοποιεί το ϑεώρημα ενδιάμεσων τιμών σε οποιοδήποτε κλειστό υποσύνολο [a, b] του [0, 1].
(2) Για κάθε c ∈ R, το f^-1(c) = {x ∈[0, 1] : f(x) = c} είναι κλειστό.
Να δειχτεί ότι η f ειναι συνεχής.

(Ακολουθούν άλλες 2 ασκήσεις)

• Εστω η συνεχής συνάρτηση στο διάστημα ώστε . Nα δείξετε ότι υπάρχει ρίζα της εξίσωσης στο διάστημα .

• Έστω συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει η σχέση :

,

για κάθε πραγματικό αριθμό και .

α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο, το οποίο και να βρείτε.

β. Να δείξετε ότι : .

γ. Να αποδείξετε πως και η συνάρτηση , , διατηρεί σταθερό πρόσημο, το οποίο και να βρείτε.

δ. Να υπολογίσετε το όριο .
Πηγή: http://ischool.e-steki.gr